数学启蒙，除了数数和认形状，孩子还需要知道什么？
我们的数学游戏
在Suki和Sula 1-4岁之间，我们的数学启蒙，多是围绕在数字和形状的认知上。
比如在认数字方面，我们用弹珠数数，和数字板对应：
用数字排序来拼出圣诞树：
做成圆点数字盘，Suki用数字夹子去匹配对应的圆点。
我们也用珠子穿小棍的方式，去对应数字，来玩数数的游戏。
学习形状时，我们使用形状模板来描画，比较形状的大小。
我在纸面画出规则的线条和形状，Suki用硬豆子去描绘形状、记忆线条规律。
我们还自制了几何板，用皮筋来探索点线面构成的形状。
我用不织布剪成各种形状，Suki玩形状拼图粘贴的游戏，一边贴我们一边记忆形状名称。
这一类的游戏我们还做了很多，基本上都是围绕能够数出1～20个物体，20以上的唱数，和认知所有基本形状。
这个阶段完成以后，我们似乎进入一个瓶颈：数学启蒙还要如何进阶呢？加减法似乎还有点早。还有哪些数学概念是孩子需要在学龄前接触和了解的呢？
皮亚杰的认知实验
近期我回到伦敦大学进修“发展心理学”。课程很有挑战，也接触到了很多非常有趣的心理学内容。
其中我最感兴趣的就是皮亚杰（Jean Piaget, 1896-1980）的儿童认知发生理论。皮亚杰是儿童心理学的开创者，被誉为心理学史上除了弗洛伊德以外的另一位“巨人”，他的认知发生理论对当代西方心理学的发展和教育改革具有重要影响。
皮亚杰对儿童思维或智力发展进行了规模庞大和系统完整的研究，用大量的时间观察孩子和进行实验。他尤其感兴趣于孩子在特定年龄段所犯的那些“相似的错误”。他意识到儿童在特定的年龄阶段有特定的认知结构水平，会通过自己的“理论”和“臆想”解释身边的世界，认知水平是像台阶一样按照年龄段递进，阶段出现的先后次序是恒定不变的。
很多儿童心理学工作者对皮亚杰理论进行了研究，并对他的实验进行了重复性的检验。据估计，仅仅关于“守恒”一项内容的重复，验证实验就达3000次以上。
我们在课堂上温习了皮亚杰和孩子们所做的许多认知实验，过程让人忍俊不禁又极有启示性。尤其是在数学认知的范畴，孩子们在相似的年纪，几乎都会犯同样的数学认知错误。
尤其对于2-7岁“前运算阶段”的孩子，皮亚杰的实验显示出这个年龄段的孩子最容易掉入一些特定的数学认知“陷阱”中，因而也启示给我们，孩子可以前往进阶理解的下一步的数学概念都是哪些。
如果你有兴趣，也可以和自己的孩子试一试，看看皮亚杰挖的那些认知陷阱，你的孩子是不是中招了？看看孩子的数学认知处在哪个位置？我和Suki也尝试了皮亚杰的一些实验。除了数数和认知形状，以下这些数学概念和特性，都是孩子们需要时间去进阶理解的。
1. 液体的体积不变原则
这是皮亚杰最经典的认知实验，几乎所有3-5岁的孩子都会“中招”。
实验过程：成人在孩子面前放两只矮胖的玻璃杯，里面放入等量的水。问孩子，哪个杯子的水更多？通常孩子能够答对：“是一样的！”
但如果成人把其中一个杯子里的水倒入一个细高的杯子，再问孩子哪个杯子里的水更多，大部分孩子都会回答细高的杯子里的水更多，因为水线更高！这个认知的误差，通常要到6-7岁才能逾越。
Suki在这个实验前面也掉入了陷阱，怎么也不理解为什么不是细高杯子里的水更多。
这个实验给孩子的认知启示是：液体的体积不根据容器的改变而改变。
2. 固体的体积不变原则
实验过程：成人捏出一样大小的两个橡皮泥的球体，问孩子，它俩谁更大？孩子通常会回答：“一样大。”
成人把其中一个球体压成扁平状，再问孩子哪个更大，几乎所有3-5岁的孩子都会指出：球体的橡皮泥比压扁的橡皮泥体积更大。
这个实验给孩子的认知启示是：物体的体积大小不根据形状改变而改变。
3. 长度的守恒问题
实验过程：两根筷子对齐排列，成人问孩子，它俩谁更长？孩子通常回回答：“一样长。”
成人把其中一根筷子水平移动，再问孩子哪个更长，很多孩子就会认为被移动的那根筷子更长了：因为尽端突显了出来。
这个实验给孩子的认知启示是：物体的长度不根据位置改变而改变。
4. 数量的守恒问题
实验过程：在孩子面前放5枚一样的硬币（我们用了小立方体模具），在成人面前也放5枚同样的硬币，等距摆好，问孩子谁的硬币多。大部分3-5岁的孩子都会说一样多。
成人面前的硬币不动，但是孩子面前的硬币间距拉长了，再问孩子，谁的硬币多？
这时大多数3-5岁的孩子都会落入陷阱，认为自己面前的硬币更多，因为排列起来更长了。这个误区通常要等到孩子6岁左右才能“闯关成功”。
这个实验给孩子的认知启示是：数量守恒，数量的多少是不受物体的摆放方式影响的。
5. 公平原则
实验过程：成人给孩子一个饼干，给自己两个饼干，问孩子“这样公平吗”？
孩子们都会回答：“不公平，因为你有2个我只有1个。”
当成人把孩子的那一个饼干掰成了两半，再问孩子“现在公平吗？”
很多3-5岁的孩子都会说：“公平！因为我们都有2块饼干了。”
这个实验给孩子的认知启示是：物体的总量多少应该是由它的数量和每个个体的体量共同决定的。
6. 顺序无关原则
实验过程：成人在孩子面前摆出7个硬币（或7个物体），摆成一个圆，让孩子从特定的某个硬币开始数，孩子数出7个。
问孩子如果他从另一个硬币开始，一共是几个硬币？大部分孩子遇到这个问题，都是要再数一遍，心里才敢确定还是7个，他们不敢直接喊出来：从哪里开始数都是同样数量的7个硬币！
这个实验给孩子的认知启示是：我们可以用任何顺序数数，无论从哪里开始数，都能得到一样的数。
7. 数轴
在学习加减法之前，一个对孩子很重要并且很直观的概念是“数轴”。在数轴上，每一个数都是一个等距的单位。可以给3-6岁的孩子试试下面这个实验。
实验过程：将硬币（或者相同物品）分成3个、5个、7个三组，问孩子哪一组最多，哪一组最少，大部分3-6岁的孩子都可以回答正确，但是要问“哪一组位于中间”，对很多孩子来说就有点困难了。
在学习加减法之前，不仅要能数出物体的数量，也可以通过学习数轴，知道3比5少，7比5多，5处在3和7之间，且距离相等。到了这个时候，孩子才能真正理解“加”和“减”这两个动作都依据同一原理——数轴。
进行数轴的引导，最好的游戏就是桌游，比如“蛇梯棋”。
蛇梯棋盘上每一格都是一个数字，数字之间是等距的，这个设计和数轴很相似的。骰子丢出哪个数，棋子就往前走几步，这样就等同于做“加法”。当碰到蛇头，棋子就要退后几步，这里就是做“减法”了。
皮亚杰的这些数学认知实验是不是很有趣？除了数学以外，这位心理学巨人还给孩子进行了很多其他类别的认知实验，比如他发现2～7岁的孩子一次只能用一种系统来分类（比如色彩或者形状），而无法在其中自由切换；还有儿童的“我向思维”，也就是儿童无法意识到别人可以有与自己完全不同的思考方式和视角，倾向于从自己的角度出发看待事物。
大家有兴趣的话我以后可以继续分享。
安潇 2017年11月 于 伦敦
（部分图片来自网络）
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「 安潇，来自北京，建筑学专业，旅居伦敦成为动画导演和漫画作者，现在伦敦大学进修儿童心理学。有两个混血女儿Suki和Sula ，出生于13年9月和15年7月。从Suki一岁开始，受到蒙特梭利理念的启发，开始在家进行早教启蒙，迄今为止和两个女儿创造和实践了300多个早教小游戏，覆盖类别有身体技能、语言交流、生活实践、美术创意、自然科学、感官感觉、数学秩序和社交情感。」
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